Question

已知双曲线的一条渐进线的倾斜角属于[

π

6

，

π

4

]，则离心率取值范围

 

．

Answer 1

考点：双曲线的简单性质

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：首先根据直线的倾斜角建立①tan

π

6

≤

b

a

≤tan

π

4

，②tan

π

6

≤

a

b

≤tan

π

4

进一步对关系式进行恒等变换，求出

4

3

≤

a2+b2

a2

≤2，和2≤

a2+b2

a2

≤4，进一步确定

2 3

3

≤e≤

2

和

2

≤e≤2，另双曲线的离心率大于1，所以进一步求出结果．

解答： 解：①当焦点在x轴上时，已知双曲线的一条渐进线的倾斜角属于[

π

6

，

π

4

]，
则：tan

π

6

≤

b

a

≤tan

π

4

即：

3

3

≤

b

a

≤1

1

3

≤

b2

a2

≤1

4

3

≤

a2+b2

a2

≤2
则：

2 3

3

≤e≤

2

另：双曲线的离心率：e＞1
则离心率的范围为：（1，

2

]
②当焦点在y轴上时，
解得：

3

3

≤

a

b

≤1
最后求得：

2

≤e≤2
则离心率的范围为：[

2

，2]
所以综合上述结果离心率的范围为：（1，

2

]或[

2

，2]
故答案为：（1，

2

]或[

2

，2]

点评：本题考查的知识要点：直线的斜率和渐近线的关系，离心率的应用．属于基础题型．