Question

数学题在△ABC中，点B（-12，0），C（12，0），且AC，AB边上的中线长之和等于39，则△ABC的重心的轨迹方程为

 

．

Answer 1

考点：轨迹方程

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：根据题意和三角形重心的性质可得：重心在以B、C为两个焦点的椭圆，求出基本量代入椭圆的标准方程，即可求出△ABC重心的轨迹方程．

解答： 解：由题意画出图象：
因为B（12，0），C（-12，0），
|BD|+|CE|=39，且M是△ABC的重心，
所以|MB|+|MC|=

2

3

（|BD|+|CE|）=26＞24=|BC|，
因此，△ABC重心M在以B、C为两个焦点的椭圆，
则2a=26，2c=24，
即a=13，c=12，
∴b²=a²-c²=13²-12²=25，
所以△ABC的重心的轨迹方程为：

x2

169

+

y2

25

=1，
故答案为：

x2

169

+

y2

25

=1．

点评：本题考查利用圆锥曲线的定义求动点的轨迹方程，以及三角形重心的性质，属于中档题．