Question

设定义在R上的偶函数f（x），其图象关于点（1，0）对称，并且x∈[2，4]时，f（x）=（3-x）³
（1）证明：f（x）+f（2-x）=0；
（2）证明：f（x）-f（x+4）=0；
（3）求f（x）在[-2，2]上的解析式，并写出f（x）在R上的单调递增区间．

Answer 1

考点：函数奇偶性的性质,函数解析式的求解及常用方法

专题：计算题,证明题,函数的性质及应用

分析：（1）由f（x）的图象关于点（1，0）对称证明f（x）+f（2-x）=0；
（2）由f（x）=f（-x），f（x）+f（2-x）=0推出周期性；
（3）分段写出函数解析式，由解析式及周期性写出单调增区间．

解答： 解：（1）证明：∵f（x）的图象关于点（1，0）对称，
∴若点（x，y）在函数图象上，则其关于点（1，0）的对称点（2-x，-y）也在函数的图象上，
故f（x）+f（2-x）=0；
（2）∵f（x）=f（-x），f（x）+f（2-x）=0；
∴f（x）=f（-x）=-f（x+2），
故f（x+4）=-f（x+2）=-（-f（x））=f（x）；
（3）当x∈[-2，0]时，x+4∈[2，4]，
故f（x）=f（x+4）=-（x+1）³，
当 x∈[0，2]时，-x∈[-2，0]，
故f（x）=f（-x）=-（-x+1）³，
故f（x）=

-(x+1)3，x∈[-2，0] (x-1)3，x∈(0，2]

；
已知f（x）在[0，2]上单调递增，
再由函数的周期性知，
其单调递增区间为[4k，4k+2]，（k∈Z）．

点评：本题考查了函数的性质的判断与证明，属于基础题．