Question

设函数f（x）在[0，1]上的图象是连续不断的曲线，在开区间（0，1）内的导函数f′（x）恒不等于1，对任意x∈[0，1]都有0＜f（x）＜1，则方程f（x）=x在开区间（0，1）内实根的个数为（　　）

• A、4
• B、3
• C、2
• D、1

Answer 1

考点：导数的运算

专题：导数的综合应用

分析：本题可构造新函数，利用根的存在性定理，判断出原方程在区间上有实根，再根据导函数值的情况，得到方程的根唯一，得出本题结论．

解答： 解：设g（x）=f（x）-x，
∵对任意x∈[0，1]都有0＜f（x）＜1，
∴g（0）=f（0）-0＞0，g（1）=f（1）-1＜0，
∴g（x）=0在区间（0，1）上有根．
∵在开区间（0，1）内的导函数f′（x）恒不等于1，
∴g′（x）=f′（x）-1≠0，x∈（0，1）．
∴g（x）在区间（0，1）内无极值点．
∴g（x）在区间（0，1）内的根唯一存在．
即：方程f（x）=x在开区间（0，1）内实根唯一．
故选D．

点评：本题考查了根的存在性定理和唯一性判断，难点在于构造新函数，思维上有一定的难度，属于中档题．