题目内容
已知不等式a+2b+3＞（m2-m）（
+2
）对任意正数a，b都成立，则实数m的取值范围是（ ）
| a |
| b |
| A、（-3，2） |
| B、（-2，4） |
| C、（-1，2） |
| D、（-1，4） |
考点：基本不等式在最值问题中的应用
专题：不等式的解法及应用
分析：将原不等式化为m2-m＜
，利用基本不等式得a+2b+3=（a+1）+2（b+1）≥2（
+2
），求出
的最小值，再求出m的范围．
| a+2b+3 | ||||
|
| a |
| b |
| a+2b+3 | ||||
|
解答：
解：原不等式化为：m2-m＜
，对任意正数a，b都成立，
因为a+2b+3=（a+1）+2（b+1）≥2
+2×2
=2（
+2
），
当且仅当a=b=1时取等号，
所以
≥2，即当a=b=1时
的最小值是2，
所以m2-m＜2，则m2-m-2＜0，解得-1＜m＜2，
则实数m的取值范围是（-1，2），
故选：C．
| a+2b+3 | ||||
|
因为a+2b+3=（a+1）+2（b+1）≥2
| a |
| b |
| a |
| b |
当且仅当a=b=1时取等号，
所以
| a+2b+3 | ||||
|
| a+2b+3 | ||||
|
所以m2-m＜2，则m2-m-2＜0，解得-1＜m＜2，
则实数m的取值范围是（-1，2），
故选：C．
点评：本题考查不等式的性质，基本不等式的灵活应用求最值，以及恒成立问题，属中档题．
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