Question

10．过椭圆$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}$=1的右焦点F作两条互相垂直的弦AB，CD，若弦AB，CD的中点分别为M，N，则直线MN恒过定点$（{\frac{4}{7}，\;0}）$．

Answer 1

分析 设直线AB的方程为x=my+1，m≠0，则直线CD的方程为x=-$\frac{1}{m}$y+1，分别代入椭圆方程，由于韦达定理和中点坐标公式可得中点M，N的坐标，求得斜率和直线方程，即可得到定点H，检验m=0也成立得答案．

解答 解：由椭圆$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}$=1，得a²=4，b²=3，则c²=4-3=1，
∴椭圆右焦点为F（1，0），
设直线AB的方程为x=my+1，m≠0，
则直线CD的方程为x=-$\frac{1}{m}$y+1，
联立AB方程与椭圆方程，消去x，得（3m²+4）y²+6my-9=0，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则y₁+y₂=-$\frac{6m}{3{m}^{2}+4}$，y₁y₂=$-\frac{9}{3{m}^{2}+4}$，
∴x₁+x₂=（my₁+1）+（my₂+1）
=m（y₁+y₂）+2=$-\frac{6{m}^{2}}{3{m}^{2}+4}+2=\frac{8}{3{m}^{2}+4}$，
由中点坐标公式得M（$\frac{4}{3{m}^{2}+4}$，-$\frac{3m}{3{m}^{2}+4}$），
将M的坐标中的m用-$\frac{1}{m}$代换，得CD的中点N（$\frac{4{m}^{2}}{3+4{m}^{2}}$，$\frac{3m}{3+4{m}^{2}}$），
k_MN=$\frac{7m}{4（{m}^{2}-1）}$，
直线MN的方程为y+$\frac{3m}{3{m}^{2}+4}$=$\frac{7m}{4（{m}^{2}-1）}$（x-$\frac{4}{3{m}^{2}+4}$），
即为y=$\frac{m}{{m}^{2}-1}$（$\frac{7}{4}$x-1），
令$\frac{7}{4}$x-1=0，可得x=$\frac{4}{7}$，即有y=0，
则直线MN过定点H，且为H（$\frac{4}{7}$，0）．
当m=0，即有x=1，可得直线MN也过定点H．
故答案为：$（{\frac{4}{7}，\;0}）$．

点评 本题考查椭圆的简单性质，考查直线与椭圆位置关系的应用，考查直线系方程，是中档题．