Question

2．直线y=kx+1与双曲线x²-4y²=16只有一个公共点，则k的取值范围是{±1，±$\frac{\sqrt{30}}{12}$}．

Answer 1

分析 由直线y=kx+1与双曲线x²-4y²=16，得（1-4k²）x²-8kx-20=0，则该方程只有一解，分1-4k²=0，1-4k²≠0两种情况讨论可解得k值．

解答 解：由直线y=kx+1与双曲线x²-4y²=16，得（1-4k²）x²-8kx-20=0，
①当1-4k²=0，即k=±$\frac{1}{2}$时，x=±5，
此时直线与双曲线相交，只有一个公共点；
②当1-4k²≠0，即k≠±$\frac{1}{2}$时，
△=64k²-4（1-4k²）（-20）=0，即4k²=5，解得k=±$\frac{\sqrt{30}}{12}$，
此时直线与双曲线相切，只有一个公共点；
综上，k的取值范围为{±1，±$\frac{\sqrt{30}}{12}$}．
故答案为：{±1，±$\frac{\sqrt{30}}{12}$}．

点评 本题考查直线与圆锥曲线的位置关系，考查方程思想，考查函数解决问题的能力．