Question

1．已知O为直角坐标系原点，P，Q的坐标满足不等式组$\left\{\begin{array}{l}4x+3y-25≤0\\ x-2y+2≤0\\ x-1≥0\end{array}\right.$，则cos∠POQ的最小值为（　　）

• A． $\frac{{\sqrt{2}}}{2}$
• B． $\frac{{\sqrt{3}}}{2}$
• C． $\frac{1}{2}$
• D． 0

Answer 1

分析 先画出不等式组$\left\{\begin{array}{l}4x+3y-25≤0\\ x-2y+2≤0\\ x-1≥0\end{array}\right.$，对应的平面区域，利用余弦函数在[0，$\frac{π}{2}$]上是减函数，再找到∠POQ最大时对应的点的坐标，就可求出cos∠POQ的最小值．

解答 解：满足不等式组$\left\{\begin{array}{l}4x+3y-25≤0\\ x-2y+2≤0\\ x-1≥0\end{array}\right.$，的平面区域如下图示：
因为余弦函数在[0，$\frac{π}{2}$]上是减函数，所以角最大时对应的余弦值最小，
由图得，当P与A（1，7）重合，Q与B（4，3）重合时，∠POQ最大．
此时k_OB=$\frac{3}{4}$，k_0A=7．由tan∠POQ=$\frac{7-\frac{3}{4}}{1+7×\frac{3}{4}}$=1⇒∠POQ=$\frac{π}{4}$⇒cos∠POQ=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
故选：A．

点评 本题属于线性规划中的延伸题，对于可行域不要求线性目标函数的最值，而是求可行域内的点与原点（0，0）围成的角的问题．