Question

5．如图，三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，侧棱AA₁⊥底面A₁B₁C₁，AA₁=AC=BC=1，∠ACB=90°，D是A₁B₁的中点，F是BB₁上的点，AB₁，DF交于点E，且AB₁⊥DF，则下列结论中不正确的是（　　）

• A． CE与BC₁异面且垂直
• B． AB₁⊥C₁F
• C． △C₁DF是直角三角形
• D． DF的长为$\frac{{\sqrt{6}}}{3}$

Answer 1

分析 利用空间线面位置关系的判定定理和性质逐个进行判断．

解答 解：对于A，∵BC₁?平面B₁C₁CB，CE?平面B₁C₁CB，且C∈平面B₁C₁CB，
∴CE与BC₁是异面直线，
∵AA₁∥CC₁，AA₁⊥平面ABC，
∴CC₁⊥平面ABC，∴CC₁⊥AC，
又AC⊥BC，BC∩CC₁=C，
∴AC⊥平面B₁C₁CB，又BC₁?平面B₁C₁CB，
∴AC⊥BC₁，
又四边形B₁C₁CB是正方形，∴BC₁⊥B₁C，
又B₁C∩AC=C，
∴BC₁⊥平面AB₁C，∵CE?平面AB₁C，
∴BC₁⊥CE，故A正确；
对于B，∵C₁A₁=C₁B₁，D是A₁B₁的中点，∴C₁D⊥A₁B₁，
由AA₁⊥底面A₁B₁C₁可得AA₁⊥C₁D，
又A₁B₁∩AA₁=A₁，∴C₁D⊥平面ABB₁A₁，
∴C₁D⊥AB₁，又DF⊥AB₁，C₁D∩DF=D，
∴AB₁⊥平面C₁DF，
∴AB₁⊥C₁F，故B正确；
对于C，由C₁D⊥平面ABB₁A₁可得C₁D⊥DF，
故△C₁DF是直角三角形，故C正确；
对于D，∵AC=BC=AA₁=1，∠ACB=90°，
∴A₁B₁=AB=$\sqrt{2}$，AB₁=$\sqrt{3}$，∴DB₁=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∵AB₁⊥DF，∴∠FDB₁=∠AB₁F=∠A₁AB₁，
∴cos∠FDB₁=cos∠A₁AB₁，即$\frac{D{B}_{1}}{DF}=\frac{A{A}_{1}}{A{B}_{1}}$，
∴$\frac{\frac{\sqrt{2}}{2}}{DF}=\frac{1}{\sqrt{3}}$，解得DF=$\frac{\sqrt{6}}{2}$，故D错误．
故选D．

点评 本题考查了空间线面位置关系的判断，掌握判定定理和性质是解题关键，属于中档题．