Question

在下列五个命题中，
①函数y=tan（x+

π

4

）的定义域是 {x|x≠

π

4

+kπ，k∈Z}；
②已知sinα=

1

2

，且α∈[0，2π]，则α的取值集合是{

π

6

}；
③函数y=sin（2x+

π

3

）+sin（2x-

π

3

）的最小正周期是π；
④直线x=

π

4

是函数y=sinx+cosx图象的一条对称轴；
⑤函数y=cos²x+sinx的最小值为-1．
把你认为正确的命题的序号都填在横线上

 

．

Answer 1

考点：命题的真假判断与应用,正弦函数的图象,正切函数的定义域

专题：计算题,三角函数的图像与性质

分析：分别根据三角函数的图象和性质进行判断即可．

解答： 解：①根据正切函数的性质可知x+

π

4

≠

π

2

+kπ，k∈Z，即x≠

π

4

+kπ，k∈Z，∴函数y=tan（x+

π

4

）的定义域是 {x|x≠

π

4

+kπ，k∈Z}；∴①正确．
②由sinα=

1

2

，且α∈[0，2π]，则α=

π

6

或

5π

6

，∴②错误；
③函数y=sin（2x+

π

3

）+sin（2x-

π

3

）=2sin2x，即函数的最小正周期T=

2π

2

=π；∴③正确．
④y=sinx+cosx=

2

sin(x+

π

4

)，当x=

π

4

时，y=

2

sin

π

2

=

2

为最大值，∴x=

π

4

是函数y=sinx+cosx图象的一条对称轴；∴④正确．
⑤函数y=cos²x+sinx=1-sin²x+sinx=-（sinx-

1

2

）²+

5

4

，∴当sinx=

1

2

时，函数取得最大值为

5

4

，当sinx=-1时，函数取得最小值为-1∴⑤正确．
故正确是①③④⑤，
故答案为：①③④⑤．

点评：本题主要考查三角函数的图象 和性质，要求熟练掌握三角函数的奇偶性，对称性，周期性以及最值的性质．