Question

5．设数列{a_n}的前n项和S_n=2a_n-a₁．且a₁，a₂+1，a₂成等差数列．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）记数列$\frac{{2}^{n}}{（{a}_{n}-1）（{a}_{n-1}-1）}$的前n项和T_n，求使得|T_n-1|$＜\frac{1}{2016}$成立的n的最小值．

Answer 1

分析 （1）由S_n=2a_n-a₁，得S_n-1=2a_n-1-a₁，n≥2，两式相减，得a_n=2a_n-1，从而数列{a_n}是首项为2，公比为2的等比数列，由此能求出a_n．
（2）由${a}_{n}={2}^{n}$，得$\frac{{2}^{n}}{（{a}_{n}-1）（{a}_{n-1}-1）}$=$\frac{{2}^{n}}{（{2}^{n}-1）（{2}^{n-1}-1）}$=$\frac{1}{{2}^{n}-1}-\frac{1}{{2}^{n-1}-1}$，由此利用裂项求和法能求出使得|T_n-1|$＜\frac{1}{2016}$成立的n的最小值．

解答 解：（1）∵数列{a_n}的前n项和S_n=2a_n-a₁，∴S_n-1=2a_n-1-a₁，n≥2，
两式相减，得a_n=2a_n-1，n≥2，
∴a₂=2a₁，a₃=4a₁，
∵a₁，a₂+1，a₂成等差数列，
∴a₁+a₃=2（a₂+1），∴a₁+4a₁=2（2a₁+1），解得a₁=2，
∴数列{a_n}是首项为2，公比为2的等比数列，
∴a_n=2ⁿ．
（2）由${a}_{n}={2}^{n}$，得$\frac{{2}^{n}}{（{a}_{n}-1）（{a}_{n-1}-1）}$=$\frac{{2}^{n}}{（{2}^{n}-1）（{2}^{n-1}-1）}$=$\frac{1}{{2}^{n}-1}-\frac{1}{{2}^{n-1}-1}$，
∴数列$\frac{{2}^{n}}{（{a}_{n}-1）（{a}_{n-1}-1）}$的前n项和：
T_n=$\frac{1}{2-1}-\frac{1}{{2}^{2}-1}+\frac{1}{{2}^{2}-1}-\frac{1}{{2}^{3}-1}$+…+$\frac{1}{{2}^{n}-1}-\frac{1}{{2}^{n+1}-1}$
=$1-\frac{1}{{2}^{n+1}-1}$，
∵|T_n-1|$＜\frac{1}{2016}$，
∴|1-$\frac{1}{{2}^{n+1}-1}-1$|＜$\frac{1}{2016}$，即2ⁿ⁺¹＞2017，
∵2¹⁰=1024＜2017＜2048=2¹¹，
∴n+1≥11，
∴使得|T_n-1|$＜\frac{1}{2016}$成立的n的最小值是10．

点评 本题考查数列的通项公式的求法，考查满足条件的自然数的最小值的求法，是中档题，注意裂项求和法的合理运用．