Question

20．函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}+2x-1，x≥a}\\{-{x}^{2}+2x-1，x＜a}\end{array}\right.$对于任意的实数b，函数y=f（x）-b至多有一个零点，则实数a的取值范围是[-1，1]．

Answer 1

分析 由y=f（x）-b=0得f（x）=b，根据函数y=f（x）-b至多有一个零点，得到函数f（x）与y=b至多有一个交点，即函数f（x）在定义域上为单调函数，结合一元二次函数的单调性利用数形结合进行判断即可．

解答 解：由y=f（x）-b=0得f（x）=b，
∵y=f（x）-b至多有一个零点，
∴等价为f（x）=b至多有一个根，
即函数f（x）与y=b至多有一个交点，
在函数f（x）在定义域上为单调函数，
函数f（x）=x²+2x-1的对称轴为x=-1，
f（x）=-x²+2x-1的对称轴为x=1，
则由图象可知-1≤a≤1，
故答案为：[-1，1]

点评 本题主要考查函数与方程的应用，根据函数关系转化为两个函数的交点问题，以及利用数形结合是解决本题的关键．