Question

已知数列{a_n}满足a₁=1，a₂=2，a_n+2=（1+cos²

nπ

2

）a_n+sin²

nπ

2

，则该数列的前18项和为（　　）

• A、2101
• B、2012
• C、1012
• D、1067

Answer 1

考点：数列的求和

专题：等差数列与等比数列

分析：由已知条件推导出数列{a_2k-1}是首项为1、公差为1的等差数列，数列{a_2k}是首项为2、公比为2的等比数列，由此能求出数列的前18项的和．

解答： 解：∵数列{a_n}满足a₁=1，a₂=2，a_n+2=（1+cos²

nπ

2

）a_n+sin²

nπ

2

，
∴∴a₃=（1+cos²

π

2

）a₁+sin²

π

2

=a₁+1=2，
a₄=（1+cos²π）a₂+sin²π=2a₂=4．
一般地，当n=2k-1（k∈N^*）时，
a_2k+1=[1+cos²

(2k-1)π

2

]a_2k-1+sin²

(2k-1)π

2

=a_2k-1+1，
即a_2k+1-a_2k-1=1．
∴数列{a_2k-1}是首项为1、公差为1的等差数列，
∴a_2k-1=k．
当n=2k（k∈N^*）时，a_2k+2=（1+cos²

2kπ

2

）a_2k+sin²

2kπ

2

=2a_2k．
∴数列{a_2k}是首项为2、公比为2的等比数列，
∴a_2k=2^k．
∴数列的前18项的和为1+2+2+4+3+8+4+16+5+32+6+64+7+128+8+256+9+512=1067．
故选：D．

点评：本题考出数列的前n项和的求法，解题时要认真审题，注意总结规律，注意分类讨论思想的合理运用．