Question

11．已知数列{a_n}中，已知${a_1}=\frac{2}{3}$，a₂=1，2a_n=3a_n-1-a_n-2（n≥3）．
（1）求a₃的值；
（2）证明：数列{a_n-a_n-1}（n≥2）是等比数列．

Answer 1

分析 （1）利用已知条件求出a₃的值；
（2）化简递推关系式，利用等比数列的定义证明即可．

解答 解：（1）数列{a_n}中，已知${a_1}=\frac{2}{3}$，a₂=1，2a_n=3a_n-1-a_n-2（n≥3）．
n=3时，2a₃=3a₂-a₁，
解得${a_3}=\frac{7}{6}$．
（2）证明：2a_n=3a_n-1-a_n-2（n≥3）．可得2（a_n-a_n-1）=a_n-1-a_n-2．
∵${a_2}-{a_1}=\frac{1}{3}$，
∴a_n-a_n-1≠0，
∴$\frac{{{a_n}-{a_{n-1}}}}{{{a_{n-1}}-{a_{n-2}}}}=\frac{1}{2}$，
∴{a_n-a_n-1}是以$\frac{1}{3}$为首项$\frac{1}{2}$为公比的等比数列．

点评 本题考查数列的递推关系式的应用，考查计算能力．