Question

19．4男3女站成一排，求满足下列条件的排法共有多少种？
（1）任何两名女生都不相邻，有多少种排法？
（2）男甲不在首位，男乙不在末位，有多少种排法？
（3）男生甲、乙、丙顺序一定，有多少种排法？
（4）男甲在男乙的左边（不一定相邻）有多少种不同的排法？

Answer 1

分析 （1）任何两个女生都不得相邻，利用插空法，问题得以解决，
（2）男甲不在首位，男乙不在末位，利用间接法，故问题得以解决，
（3）男生甲、乙、丙顺序一定，利用定序法，问题得以解决．
（4）由于男甲要么在男乙的左边，要么在男乙的右边，故利用除法可得结论．

解答 解：（1）任何两名女生都不相邻，则把女生插空，所以先排男生再让女生插到男生的空中，共有$A_4^4A_5^3=1440$种不同排法．
（2）甲在首位的共有$A_6^6$种，乙在末位的共有$A_6^6$种，甲在首位且乙在末位的有$A_5^5$种，因此共有$A_7^7-2A_6^6+A_5^5=3720$种排法．
（3）7人的所有排列方法有$A_7^7$种，其中甲、乙、丙的排序有A${\;}_{3}^{3}$种，其中只有一种符合题设要求，所以甲、乙、丙顺序一定的排法有$\frac{A_7^7}{A_3^3}=840$种．
（4）男甲在男乙的左边的7人排列与男甲在男乙的右边的7人排列数相等，而7人排列数恰好是这二者之和，因此满足条件的有$\frac{1}{2}$$A_7^7$=2520种排法．

点评 本题考查排列、组合知识的运用，考查学生分析解决问题的能力，正确选用方法是关键．