Question

设全集为U，若存在D₁与D₂（D₁≠D₂），D₁⊆U，D₂⊆U，使得y=f（x），x∈D₁与y=f（x），x∈D₂的值域相同，则称这两个函数为一对“同族函数“．现在U=[0，2π），f（x）=sinx，值域为{

1

2

，

3

2

}的“同族函数“共有几对？

Answer 1

考点：正弦函数的图象

专题：三角函数的图像与性质

分析：由：U=[0，2π），可得只有只有当D₁ =[

π

6

，

π

3

]，且D₂ =[

2π

3

，

5π

6

]时，才有 y=f（x），x∈D₁与y=f（x），x∈D₂的值域相同，从而得出结论．

解答： 解：∵U=[0，2π），只有当D₁ =[

π

6

，

π

3

]，且D₂ =[

2π

3

，

5π

6

]时，
才有 y=f（x），x∈D₁与y=f（x），x∈D₂的值域相同，
故U=[0，2π）时，f（x）=sinx，值域为{

1

2

，

3

2

}的“同族函数“只有一对．

点评：本题主要考查正弦函数的图象特征，考查新定义，属于基础题．