Question

定义在R上的函数f（x），对任意的x、y∈R都有f（x+y）=f（x）+f（y）+1成立．
（1）令F（x）=f（x）+1，求证：F（x）为奇函数；
（2）若f（1）=1，且函数f（x）在R上为增函数，解不等式f（3x+2）＞f（2x+3）+4．

Answer 1

考点：抽象函数及其应用,函数单调性的性质,函数奇偶性的判断

专题：函数的性质及应用

分析：（1）令x=y=0得，f（0）=-1；令y=-x得f（-x）=-f（x）-2；然后定义法可证明F（x）为奇函数．（2）f（1）=1得f（2）=3，然后由f（x+y）=f（x）+f（y）+1得f（3x+2）=f（3x）+4，带入不等式去掉4，最后利用函数的单调性求解．

解答： 解：（1）证明：令x=y=0得，f（0）=-1，
令y=-x得，f（0）=f（x）+f（-x）+1，则f（-x）=-f（x）-2，
函数f（x）定义域为R，则F（x）=f（x）+1定义域也为R，
且F（-x）=f（-x）+1=-f（x）-2+1=-f（x）-1=-[f（x）+1]=-F（x），
则F（x）为奇函数得证．
（2）∵f（1）=1，
∴令x=y=1，得f（2）=f（1）+f（1）+1=3，
∵f（x+y）=f（x）+f（y）+1，
∴f（3x+2）=f（3x）+f（2）+1=f（3x）+4，
∴不等式f（3x+2）＞f（2x+3）+4即为f（3x）+4＞f（2x+3）+4
∴f（3x）＞f（2x+3），
又∵函数f（x）在R上为增函数，
∴3x＞2x+3
∴x＞3．

点评：新定义题关键是给变量取不同的值得到解题的基础数值或式子．