Question

已知抛物线y²=2x的焦点为F，过F点作斜率为

3

的直线交抛物线于A，B两点，其中第一象限内的交点为A，则

AF

FB

=

 

．

Answer 1

考点：抛物线的简单性质

专题：计算题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：根据题意，求得抛物线的焦点为F（

1

2

，0），得到直线AB的方程为y=

3

（x-

1

2

）．将直线AB方程与抛物线y²=2x消去x，得到y²-

2 3

3

y-1=0，解出点A、B的纵坐标，进而可得

AF

FB

的值．

解答： 解：设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
∵抛物线y²=2x的焦点为F（

1

2

，0），直线AB经过点F且斜率k=

3

，
∴直线AB的方程为y=

3

（x-

1

2

），
将直线AB方程与抛物线y²=2x消去x，
可得y²-

2 3

3

y-1=0，
∵点A是第一象限内的交点，
∴解方程得y₁=

3

，y₂=-

3

3

．
因此

AF

FB

=|

y1

y2

|=

y1

-y2

=3．
故答案为：3

点评：本题给出经过抛物线焦点F的直线交抛物线于A、B两点，求线段AF、BF的比值．着重考查了抛物线的简单性质、直线与圆锥曲线的位置关系等知识，属于中档题．