Question

16．如图，棱长为1的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，P为线段A₁B上的动点，则下列结论正确的序号是①②④．
①DC₁⊥D₁P
②平面D₁A₁P⊥平面A₁AP
③∠APD₁的最大值为90°
④AP+PD₁的最小值为$\sqrt{2+\sqrt{2}}$．

Answer 1

分析 对于①，利用线面垂直的判定定理可证DC₁⊥面A₁BCD₁，而D₁P?平面D₁DCC₁，故可判断①正确；
对于②，D₁A₁⊥平面A₁ABB₁，而平面A₁ABB₁，就是平面A₁AP，故平面D₁A₁P⊥平面A₁AP，从而可判定②正确；
对于③，当0＜A₁P＜$\frac{\sqrt{2}}{2}$时，∠APD₁为钝角，故可判断③错误；
对于④，将面AA₁B与面A₁BCD₁沿A₁B展成平面图形，线段AD₁即为AP+PD₁的最小值，通过解三角形AA₁D₁可求得AD₁=$\sqrt{2+\sqrt{2}}$，可判断④正确．

解答 解：对于①，∵A₁D₁⊥平面D₁DCC₁，DC₁?平面D₁DCC₁，∴A₁D₁⊥DC₁，又A₁B⊥DC₁，A₁D₁∩A₁B=A₁，
∴DC₁⊥面A₁BCD₁，D₁P?平面D₁DCC₁，
∴DC₁⊥D₁P，故①正确
对于②，∵平面D₁A₁P即为平面D₁A₁BC，平面A₁AP 即为平面A₁ABB₁，
且D₁A₁⊥平面A₁ABB₁，
∴平面D₁A₁BC⊥平面A₁ABB₁，
∴平面D₁A₁P⊥平面A₁AP，故②正确；
 对于③，在△D₁AP中，由余弦定理可知，当0＜A₁P＜$\frac{\sqrt{2}}{2}$时，∠APD₁为钝角，故③错误；
对于④，将面AA₁B与面A₁BCD₁沿A₁B展成平面图形，线段AD₁即为AP+PD₁的最小值，

在△AA₁D₁中，利用余弦定理解三角形得AD₁=$\sqrt{2+\sqrt{2}}$，故④正确．
故答案为：①②④．

点评 本题考查棱柱的结构特征，考查线面垂直的判定与性质、面面垂直的判定，考查余弦定理的应用，属于难题．