Question

5．某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数：
①sin²13°+cos²17°-sin13°cos17°；
②sin²15°+cos²15°-sin15°cos15°；
③sin²18°+cos²12°-sin18°cos12°；
④sin²（-18°）+cos²48°-sin（-18°）cos48°；
⑤sin²（-25°）+cos²55°-sin（-25°）cos55°．
试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数；并根据你的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式sin²α+cos²（30°-α）-sinαcos（30°-α）=$\frac{3}{4}$．

Answer 1

分析 选择②式，由倍角公式及特殊角的三角函数值即可得解，发现推广三角恒等式为sin²α+cos²（30°-α）-sin αcos（30°-α）=$\frac{3}{4}$．

解答 解：选择②式，计算如下：
sin²15°+cos²15°-sin 15°cos 15°=1-$\frac{1}{2}$sin 30°=1-$\frac{1}{4}$=$\frac{3}{4}$
推广为三角恒等式三角恒等式为sin²α+cos²（30°-α）-sin αcos（30°-α）=$\frac{3}{4}$．
故答案为：sin²α+cos²（30°-α）-sin αcos（30°-α）=$\frac{3}{4}$．

点评 本题主要考查了三角函数中的恒等变换应用，归纳推理，属于基本知识的考查．