Question

1．△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知△ABC的面积为accosB，BC的中点为D．
（Ⅰ） 求cosB的值；
（Ⅱ） 若c=2，asinA=5csinC，求AD的长．

Answer 1

分析 （Ⅰ） 由△ABC的面积公式，利用同角的三角函数关系，即可求出cosB的值；
（Ⅱ）由题意，利用正弦、余弦定理，即可求出AD的值．

解答 解：（Ⅰ） 由题意，△ABC的面积为${S_{△ABC}}=\frac{1}{2}acsinB=accosB$，------------------（1分）
得sinB=2cosB，------①------------（2分）
∵0＜B＜π，
∴sinB＞0，∴cosB＞0，--------------------（3分）
又sin²B+cos²B=1，---------②
①代入②得${cos^2}B=\frac{1}{5}$，
∴$cosB=\frac{1}{{\sqrt{5}}}$=$\frac{{\sqrt{5}}}{5}$；-----------（5分）
（Ⅱ）由asinA=5csinC及正弦定理得a²=5c²，---------------（7分）
∵c=2，∴$a=2\sqrt{5}$，
$BD=\frac{1}{2}a=\sqrt{5}$，-----------------（9分）
在△ABD中，由余弦定理得：
$A{D^2}={c^2}+B{D^2}-2BD•c•cosB=4+5-2\sqrt{5}×2×\frac{1}{{\sqrt{5}}}=5$，------（11分）
∴$AD=\sqrt{5}$．--------------------（12分）

点评 本题考查了三角函数求值以及正弦、余弦定理的应用问题，是中档题．