已知向量$\overrightarrow{m}$=.$\overrightarrow{n}$=($\sqrt{3}$sinωx+cosωx.1)=$\overrightarrow{m}$•$\overrightarrow{n}$.若函数f(x)图象与x轴的两个相邻交点的距离为$\frac{π}{2}$．在[0.$\frac{π}{2}$]上的值域,(2)在△ABC中.� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

12．已知向量$\overrightarrow{m}$=（2cosωx，-1），$\overrightarrow{n}$=（$\sqrt{3}$sinωx+cosωx，1）（ω＞0），函数f（x）=$\overrightarrow{m}$•$\overrightarrow{n}$，若函数f（x）图象与x轴的两个相邻交点的距离为$\frac{π}{2}$．
（1）求函数f（x）在[0，$\frac{π}{2}$]上的值域；
（2）在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若f（A）=1，a=3，BC边上的高线长为$\frac{3\sqrt{3}}{2}$，求b、c的值．

分析（1）根据向量的数量积和二倍角公式以及两角和的正弦公式化简可得f（x）=2sin（2ωx+$\frac{π}{6}$），根据周期确定ω，再根据三角函数的性质即可求出，
（2）先求出A，再根据三角形面积公式和余弦定理即可求出b，c的值

解答解：（1）函数f（x）=$\overrightarrow{m}$•$\overrightarrow{n}$=2$\sqrt{3}$cosωxsinωx+2cos²ωx-1=$\sqrt{3}$sin2ωx+cos2ω=2sin（2ωx+$\frac{π}{6}$），
∵函数f（x）图象与x轴的两个相邻交点的距离为$\frac{π}{2}$，
∴T=π，
∴2ω=$\frac{2π}{π}$=2，解得ω=1，
∴f（x）=2sin（2x+$\frac{π}{6}$），
∵x∈[0，$\frac{π}{2}$]，
∴2x+$\frac{π}{6}$∈[$\frac{π}{6}$，$\frac{7π}{6}$]，
当2x+$\frac{π}{6}$=$\frac{π}{2}$，即x=$\frac{π}{6}$时，f（x）_max=2，
当2x+$\frac{π}{6}$=$\frac{π}{6}$，即x=$\frac{π}{2}$时，f（x）_min=-1，
∴函数f（x）在[0，$\frac{π}{2}$]上的值域为[-1，2]，
（2）∵f（A）=2sin（2A+$\frac{π}{6}$）=1
∴sin（2A+$\frac{π}{6}$）=$\frac{1}{2}$
由0＜A＜π，
∴$\frac{π}{6}$＜2A+$\frac{π}{6}$＜$\frac{13π}{6}$，
∴2A+$\frac{π}{6}$=$\frac{5π}{6}$，
∴A=$\frac{π}{3}$，
∵a=3，BC边上的高线长为$\frac{3\sqrt{3}}{2}$，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$ah=$\frac{9\sqrt{3}}{4}$，
∵S_△ABC=$\frac{1}{2}$bcsinA，
∴bc=9，②，
∵a²=b²+c²-2bccosA，
∴b²+c²-bc=9，②
由①②解得b=c=3．