Question

6．某学校用简单随机抽样方法抽取了100名同学，对其日均课外阅读时间（单位：分钟）进行调查，结果如下：

t	[0，15）	[15，30）	[30，45）	[45，60）	[60，75）	[75，90）
男同学人数	7	11	15	12	2	1
女同学人数	8	9	17	13	3	2

若将日均课外阅读时间不低于60分钟的学生称为“读书迷”．
（1）将频率视为概率，估计该校4000名学生中“读书迷”有多少人？
（2）从已抽取的8名“读书迷”中随机抽取4位同学参加读书日宣传活动．
（i）求抽取的4位同学中既有男同学又有女同学的概率；
（ii）记抽取的“读书迷”中男生人数为X，求X的分布列和数学期望．

Answer 1

分析 （1）设该校4000名学生中“读书迷”有x人，根据比例关系列出方程求出x的值即可；
（2）（ⅰ）利用对立事件的概率计算抽取的4名同学既有男同学，又有女同学的概率；
（ⅱ）根据题意得出X的可能取值，计算对应的概率，写出分布列，计算数学期望值．

解答 解：（1）设该校4000名学生中“读书迷”有x人，
则$\frac{8}{100}=\frac{x}{4000}$，解得x=320，
所以该校4000名学生中“读书迷”约有320人；
（2）（ⅰ）抽取的4名同学既有男同学，又有女同学的概率为：
$P=1-\frac{C_5^4}{C_8^4}=\frac{13}{14}$；
（ⅱ）X可取为0，1，2，3；
则$P（{X=0}）=\frac{C_5^4}{C_8^4}=\frac{1}{14}$，
$P（{X=1}）=\frac{C_3^1C_5^3}{C_8^4}=\frac{3}{7}$，
$P（{X=2}）=\frac{C_3^2C_5^2}{C_8^4}=\frac{3}{7}$，
P（X=3）=$\frac{{C}_{3}^{3}{•C}_{5}^{1}}{{C}_{8}^{4}}$=$\frac{1}{14}$；
∴X的分布列为：

X	0	1	2	3
P	$\frac{1}{14}$	$\frac{3}{7}$	$\frac{3}{7}$	$\frac{1}{14}$

数学期望为$E（X）=0×\frac{1}{14}+1×\frac{3}{7}+2×\frac{3}{7}+3×\frac{1}{14}=\frac{3}{2}$．

点评 本题考查了古典概型的概率计算问题，也考查了离散型随机变量的分布列与数学期望的计算问题，是中档题．