Question

已知函数y=f（x）和y=g（x）的图象关于y轴对称，且f（x）=2x²+4x-2．
（Ⅰ）求函数y=g（x）的解析式；
（Ⅱ）当k＜

1

2

时，解不等式

4

f(x)+g(x)

＜

k

x-1

．

Answer 1

考点：其他不等式的解法

专题：不等式的解法及应用

分析：（Ⅰ）设y=g（x）图象上任意一点P（x，y），根据函数y=f（x）和y=g（x）的图象关于y轴对称，则求出P关于y轴的对称点P′，代入f（（x）即可得函数y=g（x）的解析式；
（Ⅱ）将不等式“移项，通分”，然后化简等价转化为（x-1）（x+1）（k（x+1）-1）＞0，根据k的正负和根的大小进行分类讨论，分别求解不等式，即可得到但．

解答： 解：（Ⅰ）设函数y=g（x）图象上任意一点P（x，y），
∴点P（x，y）关于y轴对称点为P′（-x，y），
∵函数y=f（x）和y=g（x）的图象关于y轴对称，
∴P′（-x，y）一定在函数y=f（x）图象上，
又∵f（x）=2x²+4x-2，
则代入y=2x²+4x-2，可得y=2x²-4x-2，
故函数y=g（x）的解析式为g（x）=2x²-4x-2；
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，f（x）=2x²+4x-2，g（x）=2x²-4x-2，
∴不等式

4

f(x)+g(x)

＜

k

x-1

整理可得，不等式即为

1-k(x+1)

x2-1

＜0，
即等价于（x-1）（x+1）（k（x+1）-1）＞0，
①当k=0时，不等式即为（x-1）²＜0，解得x∈（-1，1）；
②当0＜k＜

1

2

时，不等式即为(x-1)(x+1)(x+1-

1

k

)＞0，解得x∈(-1，1)∪(

1

k

-1，+∞)；
③当k＜0时，不等式即为(x+1)(x-1)(x+1-

1

k

)＜0，解得x∈(-1，1)∪(-∞，

1

k

-1)．
综合①②③，可得当k=0时，解集为（-1，1），
当0＜k＜

1

2

时，解集为x∈(-1，1)∪(

1

k

-1，+∞)，
当k＜0时，解集为x∈(-1，1)∪(-∞，

1

k

-1)．

点评：本题考查了函数解析式的求解，分式不等式的解法，高次不等式的解法．本题解题的关键是如何进行合理的分类讨论．对于分式不等式，一般是“移项，通分”，将分式不等式转化为各个因式的正负问题．高次不等式一般选用“穿根法”进行求解，“穿根法”要注意先确定各因式的根，在数轴上按照从小到大标出来，确定各因式的系数为正值，根据“奇穿偶不穿”的原则，即可得到不等式的解集．属于中档题．