Question

若钝角三角形三内角的度数依次成等差数列，且最小边长与最大边长的比值为m，则m的取值范围是

 

．

Answer 1

考点：等差数列的性质

专题：等差数列与等比数列

分析：不妨设A为最小角，可设三个角分别为

π

3

-θ，

π

3

，

π

3

+θ，则由正弦定理可得 m=

a

c

=

sin( π 3 -θ)

sin( π 3 +θ)

=

3 -tanθ

3 +tanθ

．再根据

π

6

＜θ＜

π

3

，求得tanθ的范围．再根据函数m=

3 -tanθ

3 +tanθ

在（

3

3

，

3

）上是减函数，求得m的范围．

解答： 解：∵钝角三角形三内角A、B、C的度数成等差数列，则B=

π

3

，A+C=

2π

3

，不妨设A为最小角，则a为最小边．
可设三个角分别为

π

3

-θ，

π

3

，

π

3

+θ，则

π 3 +θ＞ π 2 π 3 -θ＞0

，即

π

6

＜θ＜

π

3

．
由正弦定理可得 m=

a

c

=

sin( π 3 -θ)

sin( π 3 +θ)

=

3 2 cosθ- 1 2 sinθ

3 2 cosθ+ 1 2 sinθ

=

3 -tanθ

3 +tanθ

．
再根据

π

6

＜θ＜

π

3

，∴

3

3

＜tanθ＜

3

．
再根据函数m=

3 -tanθ

3 +tanθ

 在（

3

3

，

3

）上是减函数，∴0＜m＜

1

2

，
故答案为：（0，

1

2

）．

点评：本题考查正弦定理、两角和差的正弦公式，利用单调性求函数的值域，得到m=

3 -tanθ

3 +tanθ

，是解题的关键和难点，属于中档题．