Question

一个三棱锥的各棱长均相等，其内部有一个内切球，即球与三棱锥的各面均相切（球在三棱锥的内部，且球与三棱锥的各面只有一个交点），过一条侧棱和对边的中点作三棱锥的截面，所得截面图形是（　　）

• A、
• B、
• C、
• D、

Answer 1

考点：球内接多面体,棱锥的结构特征

专题：计算题,空间位置关系与距离

分析：根据题意，设三棱锥S-ABC的各棱长均相等，作出经过侧棱SC与AB中点D的截面，得到截面△SCD，平面SCD截内切圆于圆O，由正四面体的性质与图形的对称性质加以分析，可知圆0与SD、CD相切而与SC相离．由此对照各个选项，即可得到本题答案．

解答： 解：如图所示，设三棱锥S-ABC的各棱长均相等，球O是它的内切球，
设H为底面△ABC的中心，根据对称性可得内切球的球心0在三棱锥的高SH上，
由SC、SH确定的平面交AB于D，连结SD、CD，得到截面△SCD，
截面SCD就是经过侧棱SC与AB中点的截面．
平面SCD与内切球相交，截得球大圆如图所示．
∵△SCD中，圆O分别与SD、CD相切于点E、H，且SD=CD，圆O与SC相离，
∴对照各个选项，可得只有B项的截面图形符合题意．
故选：B

点评：本题给出正四面体的内切球，经过一条侧棱与对棱中点的截面与内切球相交，求所得的截面的形状．着重考查了正四面体的性质、球的性质、球与多面体的内接外切等知识，属于中档题．