Question

已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且对?x∈R，cos（x-A）-cos（x-B）是常数，C=

π

3

．
（1）求

c

a

的值；
（2）若边长c=2，解关于x的不等式asinx-bcosx＜2．

Answer 1

考点：两角和与差的正弦函数,两角和与差的余弦函数,正弦函数的单调性,正弦定理

专题：三角函数的图像与性质,解三角形

分析：（1）cos（x-A）-cos（x-B）化为cosx（cosA-cosB）+sinx（sinA-sinB）．由于对?x∈R，cos（x-A）-cos（x-B）是常数，可得

cosA=cosB sinA=sinB

，再利用正弦定理即可得出．
（2）由（1）可得：a=b=c=2，于是不等式asinx-bcosx＜2，化为sinx-cosx＜1，利用两角和差的正弦公式化简即可解出．

解答： 解：（1）cos（x-A）-cos（x-B）
=cosxcosA+sinxsinB-cosxcosB-sinxsinB
=cosx（cosA-cosB）+sinx（sinA-sinB）．
∵对?x∈R，cos（x-A）-cos（x-B）是常数，
∴

cosA=cosB sinA=sinB

，
∴A=B，
又C=

π

3

，
∴A=B=

π

3

．
∴

c

a

=

sinC

sinA

=1．
（2）由（1）可得：a=b=c=2，
∴不等式asinx-bcosx＜2，化为sinx-cosx＜1，
∴

2

sin(x-

π

4

)＜1，∴sin(x-

π

4

)＜

2

2

．
∴-

5π

4

+2kπ＜x-

π

4

＜

π

4

+2kπ(k∈Z)，
解得-π+2kπ＜x＜

π

2

+2kπ(k∈Z)．

点评：本题综合考查了解三角形、恒成立问题、两角和差的正弦公式、正弦函数的单调性、正弦定理等基础知识与基本技能方法，属于中档题．