Question

17．已知函数f（x）=x²+2x+alnx
（1）若曲线y=f（x）在x=1处切线的斜率为5，求实数a的值；
（2）当t≥1时，不等式f（2t-1）-2f（t）≥-3恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求出函数的导数，计算f′（1）的值，求出a即可；
（2）由f（x）的解析式化简不等式，分离参数a，根据函数的单调性求出函数的最小值即可得到a的范围．

解答 解：（1）f′（x）=2x+2+$\frac{a}{x}$，
故f′（1）=4+a=5，解得：a=1；
（2）∵f（x）=x²+2x+alnx，
∴f（2t-1）≥2f（t）-3⇒2t2-4t+2≥2alnt-aln（2t-1）=aln $\frac{{t}^{2}}{2t-1}$．
当t≥1时，t²≥2t-1，∴ln $\frac{{t}^{2}}{2t-1}$≥0．即t＞1时，a≤$\frac{{2（t-1）}^{2}}{ln\frac{{t}^{2}}{2t-1}}$恒成立．
又易证ln（1+x）≤x在x＞-1上恒成立，
∴ln $\frac{{t}^{2}}{2t-1}$=ln[1+$\frac{{（t-1）}^{2}}{2t-1}$]≤$\frac{{（t-1）}^{2}}{2t-1}$＜（t-1）2在t＞1上恒成立，
当t=1时取等号，∴当t≥1时，ln $\frac{{t}^{2}}{2t-1}$≤（t-1）2，
∴由上知a≤2．故实数a的取值范围是（-∞，2]．

点评 本题考查利用导数研究函数的单调性及函数恒成立时所取的条件．考查考生的运算、推导、判断能力．