Question

5．平面直角坐标系xOy中，椭圆C₁：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+y²=1（a＞1）的长轴长为2$\sqrt{2}$，抛物线C₂：y²=2px（p＞0）的焦点F是椭圆C₁的右焦点．
（Ⅰ）求椭圆C₁与抛物线C₂的方程；
（Ⅱ）过点F作直线l交抛物线C₂于A，B两点，射线OA，OB与椭圆C₁的交点分别为C，D，若$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=2$\sqrt{6}$$\overrightarrow{OC}$•$\overrightarrow{OD}$，求直线l的方程．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由已知可得：2a=2$\sqrt{2}$，b=1，c=$\sqrt{{a}^{2}-{b}^{2}}$，解出即可得出椭圆C₁的方程．利用$\frac{p}{2}$=c，解得p，即可得出抛物线C₂的方程．
（Ⅱ）设直线l的方程为：x=my+1，A$（\frac{{y}_{1}^{2}}{4}，{y}_{1}）$，B$（\frac{{y}_{2}^{2}}{4}，{y}_{2}）$，C（x₃，y₃），D（x₄，y₄）．直线方程与抛物线方程联立可得：y²-my-4=0，利用斜率计算公式可得k_OA，进而定点直线OA的方程，与椭圆方程联立可得$（\frac{{y}_{1}^{2}}{16}+2）{y}^{2}$=2，进而得到${y}_{3}^{2}$，${y}_{4}^{2}$，利用向量数量积运算性质可得：$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}$，$\overrightarrow{OC}•\overrightarrow{OD}$，利用$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=2$\sqrt{6}$$\overrightarrow{OC}$•$\overrightarrow{OD}$，及其根与系数的关系解出m，即可得出．

解答 解：（Ⅰ）由已知可得：2a=2$\sqrt{2}$，b=1，c=$\sqrt{{a}^{2}-{b}^{2}}$，
解得a=$\sqrt{2}$，b=c=1．
∴椭圆C₁的方程为：$\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}$=1．
又F（1，0），∴$\frac{p}{2}$=1，解得p=2．
∴抛物线C₂的方程为y²=4x．
（Ⅱ）设直线l的方程为：x=my+1，A$（\frac{{y}_{1}^{2}}{4}，{y}_{1}）$，B$（\frac{{y}_{2}^{2}}{4}，{y}_{2}）$，C（x₃，y₃），D（x₄，y₄）．
联立$\left\{\begin{array}{l}{x=my+1}\\{{y}^{2}=4x}\end{array}\right.$，化为：y²-my-4=0，∴y₁+y₂=4m，y₁•y₂=-4．
△=16m²+16＞0，
∴k_OA=$\frac{{y}_{1}}{\frac{{y}_{1}^{2}}{4}}$=$\frac{4}{{y}_{1}}$，∴直线OA的方程为：x=$\frac{{y}_{1}}{4}$y，
∴$\left\{\begin{array}{l}{4x={y}_{1}y}\\{{x}^{2}+2{y}^{2}=2}\end{array}\right.$，得$（\frac{{y}_{1}^{2}}{16}+2）{y}^{2}$=2，${y}_{3}^{2}$=$\frac{32}{{y}_{1}^{2}+32}$，同理${y}_{4}^{2}$=$\frac{32}{{y}_{2}^{2}+32}$，
∴$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}$=$\frac{{y}_{1}^{2}}{4}$×$\frac{{y}_{2}^{2}}{4}$+y₁y₂=-3，
$\overrightarrow{OC}•\overrightarrow{OD}$=x₃x₄+y₃y₄=$\frac{{y}_{1}}{4}{y}_{3}•\frac{{y}_{2}}{4}{y}_{4}$+y₃y₄=$\frac{3}{4}$y₃y₄，
∵$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=2$\sqrt{6}$$\overrightarrow{OC}$•$\overrightarrow{OD}$，∴y₃y₄=-$\frac{\sqrt{6}}{3}$，
∴${y}_{3}^{2}{y}_{4}^{2}$=$\frac{32}{{y}_{1}^{2}+32}$•$\frac{32}{{y}_{2}^{2}+32}$=$\frac{3{2}^{2}}{（{y}_{1}{y}_{2}）^{2}+32（{y}_{1}^{2}+{y}_{2}^{2}）+3{2}^{2}}$=$\frac{64}{32{m}^{2}+81}$=$（-\frac{\sqrt{6}}{3}）^{2}$，
∴m²=$\frac{15}{32}$，∴m=$±\frac{\sqrt{30}}{8}$，∴直线l的方程为：x=±$\frac{\sqrt{30}}{8}$y+1．

点评 本题考查了抛物线与椭圆的标准方程及其性质、直线与抛物线椭圆相交问题、一元二次方程的根与系数的关系、向量数量积运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于难题．