Question

20．设点（a，b）是区域$\left\{\begin{array}{l}{x+y-4≤0}\\{x＞0}\\{y＞0}\end{array}\right.$内的任意一点，则使函数f（x）=ax²-2bx+3在区间[$\frac{1}{2}$，+∞）上是增函数的概率为$\frac{1}{3}$．

Answer 1

分析 作出不等式组对应的平面区域，求出函数f（x）=ax²-2bx+3在区间[$\frac{1}{2}$，+∞）上是增函数的等价条件，求出对应的面积，根据几何概型的概率公式进行求解即可．

解答 解：作出不等式组对应的平面区域如图：
若f（x）=ax²-2bx+3在区间[$\frac{1}{2}$，+∞）上是增函数，
则$\left\{\begin{array}{l}{a＞0}\\{-\frac{-2b}{2a}=\frac{b}{a}≤\frac{1}{2}}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{a＞0}\\{a-2b≥0}\end{array}\right.$，
则A（0，4），B（4，0），由$\left\{\begin{array}{l}{a+b-4=0}\\{a-2b=0}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{a=\frac{8}{3}}\\{b=\frac{4}{3}}\end{array}\right.$，
即C（$\frac{8}{3}$，$\frac{4}{3}$），
则△OBC的面积S=$\frac{1}{2}$×4×$\frac{4}{3}$=$\frac{8}{3}$．
△OAB的面积S=$\frac{1}{2}$×4×4=8．
则使函数f（x）=ax²-2bx+3在区间[$\frac{1}{2}$，+∞）上是增函数的概率P=$\frac{{S}_{△OBC}}{{S}_{△OAB}}$=$\frac{\frac{8}{3}}{8}=\frac{1}{3}$．
故答案为：$\frac{1}{3}$．

点评 本题主要考查几何概型的概率的概率公式，作出不等式组对应的平面区域，求出对应的面积是解决本题的关键，是中档题．