题目内容

14．2017年4月1日，国家在河北省白洋淀以北的雄县、容城、安新3县设立雄安新区，这是继深圳经济特区和上海浦东新区之后又一具有全国意义的新区，是千年大计、国家大事，多家央企为了配合国家战略支持雄安新区建设，纷纷申请在新区建立分公司，若规定每家央企只能在雄县、容城、安新3个片区中的一个片区设立分公司，且申请其中任一个片区设立分公司都是等可能的，每家央企选择哪个片区相互之间互不影响且必须在其中一个片区建立分公司，向雄安新区申请建立分公司的任意4家央企中：
（1）求恰有2家央企申请在“雄县”片区建立分公司的概率；
（2）用X表示这4家央企中在“雄县”片区建立分公司的个数，用Y表示在“容城”或“安新”片区建立分公司的个数，记ξ=|X-Y|，求ξ的分布列和数学期望．

分析 （1）【方法1】根据相互独立事件的概率公式计算即可；
【方法2】利用古典概型的概率公式计算即可；
（2）由题意，X～B（4，$\frac{1}{3}$），根据n次独立重复事件的概率公式，
计算对应的概率值，写出随机变量ξ的分布列，计算数学期望值．

解答 解：（1）【方法1】每家央企在“雄县”片区建立分公司的概率为$\frac{1}{3}$，
去另外两个片区建立分公司的概率是$\frac{2}{3}$，
则这4家央企恰有2家央企申请在“雄县”片区建立分公司的概率为
P=${C}_{4}^{2}$×${（\frac{1}{3}）}^{2}$×${（1-\frac{1}{3}）}^{2}$=$\frac{8}{27}$；
【方法2】所有可能的申请方式有34=81种，
恰有2家央企申请在“雄县”片区建立分公司的方式为${C}_{4}^{2}$×22=24种，
从而恰有2家央企在“雄县”片区建立分公司的概率为：
P=$\frac{{C}_{4}^{2}{×2}^{2}}{{3}^{4}}$=$\frac{8}{27}$；
（2）由题意，X～B（4，$\frac{1}{3}$），则
P（X=k）=${C}_{4}^{k}$•${（\frac{1}{3}）}^{k}$•${（1-\frac{1}{3}）}^{4-k}$，（其中k=0，1，2，3，4）；
则ξ的所有可能取值为0，2，4；
P（ξ=0）=P（X=2）=$\frac{8}{27}$，
P（ξ=2）=P（X=1）+P（X=3）=$\frac{40}{81}$，
P（ξ=4）=P（X=0）+P（X=4）=$\frac{17}{81}$，
所以随机变量ξ的分布列为：

ξ024
P$\frac{8}{27}$$\frac{40}{81}$$\frac{17}{81}$
数学期望为Eξ=0×$\frac{8}{28}$+2×$\frac{40}{81}$+4×$\frac{17}{81}$=$\frac{148}{81}$．

点评 本题考查了相互独立事件的概率公式与离散型随机变量的分布列和数学期望的应用问题，是中档题．

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