Question

19．在平行四边形ABCD中，AB=2，∠DAB=$\frac{2}{3}$π，E是BC的中点，$\overrightarrow{AE}•\overrightarrow{BD}$=2，则AD=（　　）

• A． 1
• B． 2
• C． 3
• D． 4

Answer 1

分析 设|$\overrightarrow{AD}$|=x＞0．由向量的三角形法则可得$\overrightarrow{AE}$、$\overrightarrow{BD}$，代入$\overrightarrow{AE}$$•\overrightarrow{BD}$=2，利用数量积的运算性质展开即可求得结果．

解答 解：如图所示，
平行四边形ABCD中，AB=2，∠DAB=$\frac{2}{3}$π，E是BC的中点，
设|$\overrightarrow{AD}$|=x＞0，
∵$\overrightarrow{AE}$=$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{BE}$=$\overrightarrow{AB}$+$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{BC}$=$\overrightarrow{AB}$+$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{AD}$，
$\overrightarrow{BD}$=$\overrightarrow{BA}$+$\overrightarrow{BC}$=-$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{AD}$，
∴$\overrightarrow{AE}$•$\overrightarrow{BD}$=（$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{AD}$+$\overrightarrow{AB}$）•（$\overrightarrow{AD}$-$\overrightarrow{AB}$）
=$\frac{1}{2}$${\overrightarrow{AD}}^{2}$+$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{AD}$•$\overrightarrow{AB}$-${\overrightarrow{AB}}^{2}$
=$\frac{1}{2}$x²+$\frac{1}{2}$x•2•cos$\frac{2π}{3}$-2²
=$\frac{1}{2}$x²-$\frac{1}{2}$x-4=2，
化为x²-x-12=0，
∵x＞0，解得x=4，
即AD=4．
故选：D．

点评 本题考查了平面向量的三角形法则以及数量积的运算问题，是基础题．