Question

已知三棱柱ABC-A₁B₁C₁的侧棱垂直于底面，M、N分别为棱BB₁，B₁C₁的中点，由M，N，A三点确定的平面将该三棱柱分成体积不相等的两部分，则较小部分与较大部分的体积之比为

 

．

Answer 1

考点：棱柱、棱锥、棱台的体积

专题：空间位置关系与距离

分析：延长MN与CC₁的交点为P，与CB的交点为Q，连结AP交A₁C₁为D，连结DN，得到截面为DNMA，由题意得A₁D=2DC₁，由此能求出较小部分与较大部分的体积之比．

解答： 解：延长MN与CC₁的交点为P，与CB的交点为Q，
连结AP交A₁C₁为D，连结DN，
得到截面为DNMA，由题意得A₁D=2DC₁，
设三棱柱是直三棱柱，底面AB⊥BC，且设AB=BC=AA₁=2，
∵QB=1，MB=1，NC=1，PC₁=1，棱柱体积V=

1

2

×2×2×2=4，
∴下部分体积V_下=V_P-AQC-VP-DNC1-V_M-AQB
=

1

3

×

1

2

×3×2×3-

1

3

×

1

2

×1×2-

1

3

×

1

2

×1×

2

3

×1
=

23

9

，
上部分体积V_上=V-V_下=4-

23

9

=

13

9

，
∴较小部分与较大部分的体积之比为：

V上

V下

=

13 9

23 9

=

13

23

．
故答案为：

13

23

．

点评：本题考查几何体中两部分体积之比的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．