Question

已知抛物线方程为y²=8x，直线l过定点P（-3，1），斜率为k，当k为何值时，直线l与抛物线只有一个公共点，并写出相应直线l的方程．

Answer 1

考点：抛物线的简单性质

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：由题意设出直线方程，然后分直线的斜率等于0和不等于0分析，当直线的斜率不为0时由一元二次方程的判别式等于0求得k的值．

解答： 解：显然直线l的斜率存在，设l：y-1=k（x+3），
联立

y-1=k(x+3) y2=8x

，消去x整理得：ky²-8y+24k+8=0．
当k=0时，l的方程为y=1，与抛物线只有一个公共点，符合题意；
当k≠0，由题意有△=（-8）²-4k（24k+8）=0，
解得：k=-1或k=

2

3

．
此时l与抛物线相切符合题意．
当k=-1时，l：y-1=-（x+3），即x+y+2=0；
当k=

2

3

时，l：y-1=

2

3

(x+3)，即2x-3y+9=0．
综上所述，所求的k的值为：0、-1、

2

3

．
相应的直线l的方程为：y=1，x+y+2=0，2x-3y+9=0．

点评：本题考查了抛物线的简单几何性质，考查了直线与圆锥曲线的位置关系，解答此题的关键是注意分类讨论，是基础题．