Question

已知函数f（x）对于任意x，y∈R，总有f（x）+f（y）=f（x+y），且当x＞0时，f（x）＜0，f（1）=-

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（1）求f（x）在[-4，4]上的最大值和最小值；
（2）当m+n≠0时，求证：

f(m)+f(n)

m+n

＜f（0）．

Answer 1

考点：抽象函数及其应用,函数的最值及其几何意义

专题：函数的性质及应用

分析：（1）利用赋值法即可求f（0）的值，根据函数单调性的定义即可判断函数单调性，再根据函数的单调性和最值之间的关系即可得到结论．
（2）先证明当x≠0时，

f(x)

x

＜f(0)．再把x=m+n代入得

f(m+n)

m+n

＜f(0)，而f（m）+f（n）=f（m+n），故

f(m)+f(n)

m+n

＜f(0)得证．

解答： （1）令x=y=0得f（0）+f（0）=f（0），解得f（0）=0，
设x₁＞x₂，由f（x）+f（y）=f（x+y），令x=x₂，x+y=x₁，
则 y=x₁-x₂＞0，所以 f（x₂）+f（x₁-x₂）=f（x₁）
所以 f（x₁）-f（x₂）=f（x₁-x₂）＜0，
所以，f（x）在R上是减函数，
f（x）+f（y）=f（x+y）
f（1）+f（-1）=f（0）=0，∴f（-1）=-f（1）=

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4

，
f（-4）=f（-3）+f（-1）=f（-1）+f（-1）+f（-1）+f（-1）=4f（-1）=1，
f（4）=f（3）+f（1）=f（1）+f（1）+f（1）+f（1）=4f（1）=-1，
又因为f（x）在[-4，4]上是减函数，
所以，最大值为f（-4）=1，最小值为f（-1）=-1．
（2）∵f（0）=0
∵当x＞0时，f（x）＜0，∴

f(x)

x

＜0，故

f(x)

x

＜0；
∴当x＜0时，-x＞0，∴f（-x）＜0，由f（x-x）=f（x）+f（-x），得f（x）=-f（-x＞0，∴

f(x)

x

＜0；
综上：当x≠0时，

f(x)

x

＜f(0)．
∴m+n≠0时，

f(m+n)

m+n

＜f(0)，
∵f（m）+f（n）=f（m+n），
∴

f(m)+f(n)

m+n

＜f(0)

点评：本题主要考查抽象函数的应用，根据定义法和赋值法是解决抽象函数问题的基本方法．注意，把式子要变形、等价转化．