Question

如图，在多面体ABCDEF中，底面ABCD是菱形，AE⊥平面ABCD，CF∥AE，AB=AC=AE=2，EF⊥平面BDE．
（1）求CF的长；
（2）求锐二面角E-BD-F的大小．（不要用向量解答）

Answer 1

考点：二面角的平面角及求法,点、线、面间的距离计算

专题：空间位置关系与距离,空间角

分析：（1）设AC与BD的交点为O，由已知得AC⊥BD，EF⊥BD，由此得EF⊥平面BDE，由此能求出CF．
（2）由题意得BD⊥平面ACFE，∠EOF是所求二面角的平面角，由此利用余弦定理能求出锐二面角E-BD-F的大小．

解答： 解：（1）设AC与BD的交点为O，
∵底面ABCD是菱形，∴AC⊥BD，
根据三垂线定理，得EF⊥BD，
当EF⊥OE时，有EF⊥平面BDE，
∵OA=

1

2

AE，∴CF=AE+

1

2

AE=3．
（2）由题意得BD⊥平面ACFE，
∴∠EOF是所求二面角的平面角，
∵OE=

5

，EF=

5

，OF=

10

，
∴由余弦定理得cos∠EOF=

5+10-5

2 5 • 10

=

2

2

，
∴∠EOF=

π

4

．

点评：本题考查线段长的求法，考查二面角的大小的求法，是中档题，解题时要注意余弦定理的合理运用．