Question

设{a_n}为实数数列，且对一切正整数n，均有关系式a_n+1=1-a₁a₂•…•a_n．
（Ⅰ）证明：0＜a_n＜1（n∈N）的充要条件是0＜a₁＜1；
（Ⅱ）若a₁=-1，求证：-

1

2014

＜

1

a1

+

1

a2

+…+

1

a2014

＜0．

Answer 1

考点：数列与不等式的综合

专题：点列、递归数列与数学归纳法

分析：（1）根据数列的递推关系，即可得到结论．
（2）裂项法进行求和，然后根据不等式的性质即可证明不等式．

解答： 解：（Ⅰ）0＜a_n＜1⇒0＜a₁＜1显然，
下证0＜a₁＜1⇒0＜a_n＜1．
由a_n+1=1-a₁a₂•…•a_n，得a₂=1-a₁，且当n≥2时，a_n+1=1-a_n（1-a_n），
因此，对于任意正整数n，均有0＜a_n＜1⇒0＜a_n+1＜1，
所以0＜a₁＜1⇒0＜a_n＜1
故0＜a_n＜1的充要条件是0＜a₁＜1．
（Ⅱ）因为n≥2时，a_n+1=1-a_n（1-a_n）⇒a_n+1-1=a_n（a_n-1）
所以

1

an+1-1

=

1

an(an-1)

=

1

an-1

-

1

an

，即

1

an

=

1

an-1

-

1

an+1-1

，
故

1

a1

+

1

a2

+…+

1

a2014

=

1

a1

+(

1

a2-1

-

1

a3-1

)+(

1

a3-1

-

1

a4-1

)+…+(

1

a2014-1

-

1

a2015-1

)
=-1+1-

1

a2015-1

=-

1

a2015-1

=

1

a1a2a3…a2014

，
因为a₁=-1，可得a₂=2
又n≥2时，an+1=1-an(1-an)⇒an+1-an=(an-1)2≥1
可得a_n≥n＞0（等号成立当且仅当n=2，3时成立）
易知

1

a1a2a3…a2014

＜0显然成立，
且：n≥2，a₂a₃…a_n＞n!．
从而

1

a1a2a3…a2014

＞-

1

2014!

．结论成立．

点评：本题主要考查数列的递推公式的应用，以及数列与不等式的综合，考查学生的计算能力，综合性较强，难度较大．