Question

y=f（x）是定义在[-3，3]的偶函数，当x∈[0，1]时，y=f（x）的图象是y=x²在相应区间上的部分（如图所示）；当x∈（1，3]时，y=f（x）的图象是一次函数y=-x+3在相应区间上的部分．
（1）求f（-

1

2

）、f（-1）、f（-2）、f（-3）的值；
（2）画出其图象并写出其单调区间；
（3）写出函数y=f（x）的表达式（用两种方法解答）．

Answer 1

考点：二次函数的性质

专题：函数的性质及应用

分析：（1）结合已知条件直接求出f（-

1

2

）、f（-1）、f（-2）、f（-3）的值．
（2）根据函数f（x）是定义在[-3，3]上的偶函数，可得函数的图象关于y轴对称，根据对称性，可得f（x）在y轴右侧的图象；写出其单调区间；
（2）利用函数的性质求出函数的表达式，方法一是利用图象的对称性；二是，函数偶函数的性质求解．

解答： 解：（1）y=f（x）是定义在[-3，3]的偶函数，当x∈[0，1]时，y=f（x）的图象是y=x²在相应区间上的部分（如图所示）；当x∈（1，3]时，y=f（x）的图象是一次函数y=-x+3在相应区间上的部分．
∴f（-

1

2

）=f（

1

2

）=

1

4

；
f（-1）=f（1）=1；
f（-2）=f（2）=-2+3=1；
f（-3）=f（3）=-3+3=0．
（2）∵函数f（x）是定义在[-3，3]上的偶函数，∴函数的图象关于y轴对称，根据对称性，可得f（x）在y轴右侧的图象，如图所示：
函数的单调增区间是：[-3，-1]，（0，1）；单调减区间是：（-1，0]，[1，3]．
（3）方法一：由函数图象的对称性可知，当x∈[-1，0]时，函数y=x²；当x∈[-3，-1）时，f（x）=x+3．
即f（x）=

x+3，x∈[-3，-1) x2，x∈[-1，1] -x+3，x∈(1，3]

．
方法二：∵函数是偶函数，当x∈[-1，0]时，-x∈[0，1]，函数y=（-x）²=x²；
当x∈[-3，-1）时，-x∈（1，3]，f（x）=-（-x）+3=x+3．
∴f（x）=

x+3，x∈[-3，-1) x2，x∈[-1，1] -x+3，x∈(1，3]

．

点评：本题考查偶函数图象的对称性，考查数形结合的数学思想，考查学生的作图能力．