Question

若x+y=1，x，y∈R₊，求

1

x

+

1

y

和

2

x

+

1

y

的最小值．

Answer 1

考点：基本不等式

专题：计算题,不等式的解法及应用

分析：将x+y=1写成1=x+y，即应用常数代换，然后化简整理，应用基本不等式，求出最小值，并求出取最小值时的x，y的值．

解答： 解：∵x+y=1，x，y∈R₊，
∴

1

x

+

1

y

=（

1

x

+

1

y

）×1
=（

1

x

+

1

y

）×（x+y）
=2+

x

y

+

y

x

≥2+2

x y • y x

=4，
∴当且仅当x=y=

1

2

时，

1

x

+

1

y

取最小值4；
又

2

x

+

1

y

=（

2

x

+

1

y

）×1
=（

2

x

+

1

y

）×（x+y）
=3+

x

y

+

2y

x

≥3+2

x y • 2y x

=3+2

2

，
∴当且仅当x=

2

y，即x=2-

2

，y=

2

-1，

2

x

+

1

y

取最小值3+2

2

．

点评：本题主要考查基本不等式及应用求最值，特别注意“一正二定三等”，做到基本不等式的应用最多一次，本题是一道易错题，应用基本不等式求最值，一定要检验等号成立的条件．