Question

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且S_n=n²
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）记数列{

1

anan+1

}的前n项和为T_n，若对任意的n∈N^*，T_n＜m恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

考点：数列的求和,数列递推式

专题：等差数列与等比数列

分析：（I）当n=1时，a₁=S₁=1；当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1即可得出；
（II）由于

1

anan+1

=

1

(2n-1)(2n+1)

=

1

2

(

1

2n-1

-

1

2n+1

)．可得数列{

1

anan+1

}的前n项和为T_n=

1

2

(1-

1

2n+1

)，由于任意n∈N^*，T_n＜

1

2

，对任意的n∈N^*，T_n＜m恒成立，可得m≥

1

2

．

解答： 解：（I）当n=1时，a₁=S₁=1；当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=n²-（n-1）²=2n-1，
当n=1时适合上式，∴a_n=2n-1．（n∈N^*）．
（II）∵

1

anan+1

=

1

(2n-1)(2n+1)

=

1

2

(

1

2n-1

-

1

2n+1

)．
∴数列{

1

anan+1

}的前n项和为T_n=

1

2

[(1-

1

3

)+(

1

3

-

1

5

)+…+(

1

2n-1

-

1

2n+1

)]
=

1

2

(1-

1

2n+1

)，
∵任意n∈N^*，T_n＜

1

2

，对任意的n∈N^*，T_n＜m恒成立，
∴m≥

1

2

．
∴实数m的取值范围是[

1

2

，+∞)．

点评：本题考查了递推式的意义、“裂项求和”、恒成立问题的转化，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．