Question

如图，在平面直角坐标系中，已知，，是椭圆上不同的三点，，，在第三象限，线段的中点在直线上．

（1）求椭圆的标准方程；
（2）求点C的坐标；
（3）设动点在椭圆上（异于点，，）且直线PB，PC分别交直线OA于，两点，证明为定值并求出该定值．

Answer 1

(1)；(2)；(3)．

试题分析：(1)已知椭圆过两点，可把两点坐标代入方程列出关于的方程组，然后把分别作为整体，方程组就变为二元一次方程组，从而可很快解得；(2)关键是线段的中点在直线上，可设，由线段中点为，而直线的方程可求得，代入可得的一个方程，点坐标代入椭圆方程又得另一方程，联立可解得点坐标；(3)这类问题我们采取设而不求的方法，设，在直线上，则，同理，
，下面我们想办法把用表示出来，这可由共线，共线得到，这里要考查同学计算能力，只要计算正确，就能得出正确结论．
试题解析：（1）由已知，得解得       2分
所以椭圆的标准方程为．       3分
（2）设点，则中点为．
由已知，求得直线的方程为，从而．①
又∵点在椭圆上，∴．②
由①②，解得（舍），，从而．       5分
所以点的坐标为．       6分
（3）设，，．
∵三点共线，∴，整理，得．       8分
∵三点共线，∴，整理，得．       10分
∵点在椭圆上，∴，．
从而．       14分
所以．       15分
∴为定值，定值为．       16分