Question

已知圆M经过第一象限，与y轴相切于点O（0，0），且圆M上的点到x轴的最大距离为2，过点P（0，-1）作直线l．
（1）求圆M的标准方程；
（2）当直线l与圆M相切时，求直线l的方程；
（3）当直线l与圆M相交于A、B两点，且满足向量

PA

=λ

PB

，λ∈[2，+∞）时，求|AB|的取值范围．

Answer 1

考点：直线和圆的方程的应用

专题：计算题,平面向量及应用,直线与圆

分析：（1）先确定圆M的圆心在x的正半轴上，由圆M上的点到x轴的最大距离为2，得知圆M的圆心为（2，0），半径为2，即可得到圆的方程；
（2）设直线l的方程为kx-y-1=0，由相切的条件得d=r，求出k，注意k不存在的情况也成立；
（3）设直线l的方程为kx-y-1=0，联立圆的方程，消去y，得到x的方程，运用韦达定理和向量的坐标关系，消去x₁，x₂，得到k和λ的关系式，由λ的范围，得到

4k+3

k2+1

≥

1

8

，再由弦长公式，即可得到所求范围．

解答： 解：（1）因为圆M经过第一象限，与y轴相切于点O（0，0），得知圆M的圆心在x的正半轴上；
由圆M上的点到x轴的最大距离为2，得知圆M的圆心为（2，0），半径为2．
所以圆M的标准方程为（x-2）²+y²=4．
（2）若直线l的斜率存在，设l的斜率为k，则直线l的方程为kx-y-1=0，
因为直线l与圆M相切，所以圆心M到直线l的距离等于半径得

|2k-1|

k2+1

=2，
解得k=-

3

4

，直线l的方程：3x+4y+4=0；
若直线l的斜率不存在，由直线l与圆M相切得直线l的方程：x=0，
所以，直线l的方程为x=0或3x+4y+4=0．
（3）由直线l与圆M相交于A、B两点知，直线l的斜率存在，
设直线l的斜率为k，点A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），
则直线l的方程为kx-y-1=0，
由

(x-2)2+y2=4 kx-y+1=0

得（k²+1）x²-（2k+4）x+1=0，△=16k+12＞0，
即k＞-

3

4

，x1+x2=

2k+4

k2+1

，x1•x2=

1

k2+1

，
由向量

PA

=λ

PB

⇒(x1，y1+1)=λ(x2，y2+1)，得x₁=λx₂，
由x1+x2=

2k+4

k2+1

，x1•x2=

1

k2+1

，
x₁=λx₂消去x₁、x₂得

λ

(λ+1)2

•(

2k+4

k2+1

)2=

1

k2+1

，
即4+4•

4k+3

k2+1

=

(λ+1)2

λ

=λ+

1

λ

+2≥

9

2

，λ∈[2，+∞），
化简得

4k+3

k2+1

≥

1

8

．
|AB|=2

4- (2k-1)2 k2+1

=2

4k+3 k2+1

≥2

1 8

=

2

2

且|AB|≤2R=4，即|AB|∈[

2

2

，4]．
所以|AB|的取值范围是[

2

2

，4]．

点评：本题考查直线和圆的位置关系：相切和相交，考查相切的条件：d=r以及联立直线和圆的方程，运用判别式为0，和直线和圆相交的弦长，同时考查平面向量的共线知识，属于中档题．