Question

设双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1(a＞0，b＞0)的左、右焦点分别为F₁，F₂，离心率为e，过F₂的直线与双曲线的右支交于A，B两点，若△F₁AB是以A为直角顶点的等腰直角三角形，则e²=（　　）

• A、1+2

  2

• B、4-2

  2

• C、5-2

  2

• D、3+2

  2

Answer 1

考点：双曲线的简单性质

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：利用双曲线的定义等腰直角三角形的性质可得|AF₁|-|AF₂|=2a，|BF₁|-|BF₂|=2a，|BF₁|=|AF₂|+|BF₂|，再利用等腰直角三角形的性质、勾股定理即可得出．

解答： 解：如图所示，
∵|AF₁|-|AF₂|=2a，|BF₁|-|BF₂|=2a，
|BF₁|=|AF₂|+|BF₂|，
∴|AF₂|=2a，|AF₁|=4a．
∴|BF1|=2

2

a，
∴|BF₂|=2

2

a-2a．
∵|F1F2|2=|BF1|2+|BF2|2，
∴（2c）²=(2

2

a)2+(2

2

a-2a)2，
∴e²=5-2

2

．
故选：C．

点评：本题考查了双曲线的定义等腰直角三角形的性质、勾股定理，考查了推理能力与计算能力，属于难题．