Question

天津高考数学试卷共有8道选择题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，评分标准规定：“选对得5分，不选或选错得0分”．某考生已确定有4道题答案是正确的，其余题中：有两道只能分别判断2个选项是错误的，有一道仅能判断1个选项是错误的，还有一道因不理解题意只好乱猜，求：
（Ⅰ）该考生得40分的概率；
（Ⅱ）写出该考生所得分数孝的分布列，并求：
①该考生得多少分的可能性最大？
②该考生所得分数ξ的数学期望•

Answer 1

考点：离散型随机变量的期望与方差,离散型随机变量及其分布列

专题：概率与统计

分析：（Ⅰ）设选对一道“可判断2个选项是错误的”题目为事件A，“可判断1个选项是错误的”该题选对为事件B，“不能理解题意的”该题选对为事件C，则P（A）=

1

2

，P（B）=

1

3

，P（C）=

1

4

，由此能求出该考生得40分的概率．
（Ⅱ）①该考生所得分数ξ=20，25，30，35，40，分别求出相应的概率，由此能求出该考生得25分或30分的可能性最大．
②由①能求出Eξ．

解答： 解：（Ⅰ）设选对一道“可判断2个选项是错误的”题目为事件A，
“可判断1个选项是错误的”该题选对为事件B，
“不能理解题意的”该题选对为事件C，
则P（A）=

1

2

，P（B）=

1

3

，P（C）=

1

4

，
∴该考生得40分的概率：
P=[P（A）]²•P（B）•P（C）=

1

4

×

1

3

×

1

4

=

1

48

．
（Ⅱ）①该考生所得分数ξ=20，25，30，35，40，
P（ξ=20）=[P（

.

A

）]²P（

.

B

）P（

.

C

）=

1

4

×

2

3

×

3

4

=

6

48

，
P（ξ=25）=

C

1 2

P(A)P(

.

A

)P(

.

B

)P(

.

C

)+[P(

.

A

)]2P(B)P(

.

C

)+[P(

.

A

)]2P(

.

B

)P(

.

C

)
=2×(

1

2

)2×

2

3

×

3

4

+

1

4

×

1

3

×

3

4

+

1

4

×

2

3

×

1

4

=

17

48

，
P（ξ=30）=[P(A)]2P(

.

B

)P(

.

C

)+

C

1 2

P(

.

A

)P(A)P(

.

B

)P(C)+[P(

.

A

)]2P(B)P(C)
=(

1

2

)2×

2

3

×

3

4

+2×

1

2

×

1

2

×

2

3

×

1

4

+2×

1

2

×

1

2

×

1

3

×

3

4

+(

1

2

)2×

1

3

×

1

4

=

17

48

，
P（ξ=35）=

C

1 2

P(A)P(

.

A

)P(B)P(C)+[P(A)]2P(

.

B

)P(

.

C

)
=2×

1

2

×

1

2

×

1

3

×

1

4

+(

1

2

)2×

1

3

×

3

4

+(

1

2

)2×

2

3

×

1

4

=

7

48

，
P（ξ=40）=1-

6

48

-

17

48

-

17

48

-

7

48

=

1

48

，
∴该考生得25分或30分的可能性最大．
②Eξ=20×

6

48

+25×

17

48

+30×

17

48

+35×

7

48

+40×

1

48

=

335

12

．

点评：本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的数学期望的求法，是中档题，解题时要认真审题．