题目内容
在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足a（sinA-sinB）+bsinB=csinC上．
（1）求角C的值；
（2）若c=1，且△ABC为锐角三角形，求△ABC的面积的最大值．
（1）求角C的值；
（2）若c=1，且△ABC为锐角三角形，求△ABC的面积的最大值．
考点：三角函数中的恒等变换应用,正弦定理,余弦定理
专题：解三角形
分析：第（1）问利用正弦定理把条件中的边角关系式转化为边的关系式，进而用余弦定理可求出C；第（2）问结合条件选择适当的面积公式，在求面积的最大值时使用不等式的性质．
解答：
（1）解：∵a（sinA-sinB）+bsinB=csinC
∴由正弦定理得：a（a-b）+b2=c2
即a2+b2-c2=ab
由余弦定理得：cosC=
=
，
∵角C为三角形的内角，
∴c=
．
（2）∵S=
absinC=
ab，c=1
由（1）得，cosC=
=
，
∴a2+b2-1=ab
由不等式的性质：a2+b2≥2ab，当且仅当a=b时取等号，
∴ab≤1
∴S=
absinC=
ab≤
．
所以△ABC的面积的最大值为
．
∴由正弦定理得：a（a-b）+b2=c2
即a2+b2-c2=ab
由余弦定理得：cosC=
| a2+b2-c2 |
| 2ab |
| 1 |
| 2 |
∵角C为三角形的内角，
∴c=
| π |
| 3 |
（2）∵S=
| 1 |
| 2 |
| ||
| 4 |
由（1）得，cosC=
| a2+b2-c2 |
| 2ab |
| 1 |
| 2 |
∴a2+b2-1=ab
由不等式的性质：a2+b2≥2ab，当且仅当a=b时取等号，
∴ab≤1
∴S=
| 1 |
| 2 |
| ||
| 4 |
| ||
| 4 |
所以△ABC的面积的最大值为
| ||
| 4 |
点评：本题考查了利用正、余弦定理解三角形，解决本题的关键是根据式子的特点及形式合理的选择定理及公式．
练习册系列答案
相关题目
设a，b是关于x的方程x2sinθ+xcosθ-2=0（θ∈R）的两个互异实根，直线l过点A（a，a2），B（b，b2），则坐标原点O到直线l的距离是（ ）
| A、2 |
| B、2|tanθ| |
| C、2|cotθ| |
| D、2|sinθcosθ| |
如图，以Rt△ABC直角边AC上一点O为圆心，OC为半径的⊙O与AC另一个交点E，D为斜边AB上一点且在⊙O上，AD2=AE•AC．