Question

已知函数f（x）=2x²-alnx．
（Ⅰ）若a=4，求函数f（x）的极小值；
（Ⅱ）设函数g(x)=-

3

2

x2+(1-a)x，试问：在定义域内是否存在三个不同的自变量x_i（x=1，2，3）使得f（x_i）+g（x_i）的值相等，若存在，请求出a的范围，若不存在，请说明理由？

Answer 1

考点：导数在最大值、最小值问题中的应用,利用导数研究函数的极值

专题：综合题,导数的综合应用

分析：（1）由a=4，得函数f（x）的解析式，求出其导函数以及导数为0的根，通过比较两根的大小找到函数的单调区间，进而求出f（x）的极小值；
（2）若定义域内存在三个不同的自变量的取值x_i（i=1，2，3），使得f（x_i）-g（x_i）的值恰好都相等，设f（x_i）+g（x_i）=m．（i=1，2，3），则对于某一实数m，方程f（x）+g（x）=m在（0，+∞）上有三个不等的实数，由此能求出在定义域内不存在三个不同的自变量的取值x_i（i=1，2，3）使得f（x_i）+g（x_i）的值恰好都相等．

解答： 解：（Ⅰ）定义域为（0，+∞），由已知得f′（x）=

4(x2-1)

x

，…（2分）
则当0＜x＜1时f'（x）＜0，可得函数f（x）在（0，1）上是减函数，
当x＞1时f′（x）＞0，可得函数f（x）在（1，+∞）上是增函数，
故函数的极小值为f（1）=2；                 …（6分）
（Ⅱ）若存在，设f（x_i）+g（x_i）=m（i=1，2，3），
则对于某一实数m方程f（x）+g（x）-m=0在（0，+∞）上有三个不等的实根，
设F(x)=f(x)+g(x)-m=2x2-alnx-

3

2

x2+(1-a)x-m，
则函数F（x）=f（x）+g（x）-m的图象与x轴有三个不同交点，
即F′(x)=4x-

a

x

-3x+1-a=

x2+(1-a)x-a

x

在（0，+∞）有两个不同的零点．  …（9分）
显然F′(x)=

x2+(1-a)x-a

x

=

(x+1)(x-a)

x

在（0，+∞）上至多只有一个零点
则函数F（x）=f（x）+g（x）-m的图象与x轴至多有两个不同交点，
则这样的a不存在．                                                 …（13分）

点评：本题考查函数的单调区间的求法，考查满足条件的实数的取值范围的求法．综合性强，难度大，具有一定的探索性．解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．