Question

已知函数f(x)=sin(2x+

π

6

)+sin(2x-

π

6

)+2cos2x．
（Ⅰ）求f（x）的最小正周期和单调递增区间；
（Ⅱ）求使f（x）≥2的x的取值范围．

Answer 1

考点：三角函数中的恒等变换应用,三角函数的周期性及其求法,正弦函数的图象

专题：计算题,三角函数的图像与性质

分析：（I）根据三角恒等变换公式，化简得f（x）=2sin(2x+

π

6

)+1，再由三角函数的周期公式与单调区间的公式加以计算，可得f（x）的最小正周期和单调递增区间；
（II）由（I）化简不等式f（x）≥2，得到sin(2x+

π

6

)≥

1

2

，再利用正弦函数的图象与性质，即可求出满足条件的实数x的取值范围．

解答： 解：（Ⅰ）∵sin(2x+

π

6

)=sin2xcos

π

6

+cos2xsin

π

6

，
sin(2x-

π

6

)=sin2xcos

π

6

-cos2xsin

π

6

，cos²x=

1

2

(cos2x+1)
∴f(x)=sin(2x+

π

6

)+sin(2x-

π

6

)+2cos2x
=sin2xcos

π

6

+cos2xsin

π

6

+sin2xcos

π

6

-cos2xsin

π

6

+cos2x+1
=

3

sin2x+cos2x+1=2sin(2x+

π

6

)+1
可得f（x）的最小正周期T=

2π

|ω|

=

2π

2

=π．
令-

π

2

+2kπ≤2x+

π

6

≤

π

2

+2kπ（k∈Z），解之得-

π

3

+kπ≤x≤

π

6

+kπ（k∈Z），
∴函数f（x）的递增区间是[-

π

3

+kπ，

π

6

+kπ]，k∈Z．
（Ⅱ）由f（x）≥2，得2sin(2x+

π

6

)+1≥2（k∈Z），即sin(2x+

π

6

)≥

1

2

，
根据正弦函数的图象，可得

π

6

+2kπ≤2x+

π

6

≤

5π

6

+2kπ（k∈Z），
解之得kπ≤x≤kπ+

π

3

（k∈Z），
∴使不等式f（x）≥2成立的x取值范围是{x|kπ≤x≤kπ+

π

3

，k∈Z}．

点评：本题给出三角函数表达式，求函数的单调区间与周期，并求关于x的不等式的解集．着重考查了两角和与差的正弦公式、二倍角的余弦公式与辅助角公式、三角函数的图象与性质等知识，属于中档题．