Question

20．已知函数f（x）=x²+3|x-a|（a∈R）．
（Ⅰ）若f（x）在[-1，1]上的最大值和最小值分别记为M（a），m（a），求M（a）-m（a）；
（Ⅱ）设b∈R，若|f（x）+b|≤3对x∈[-1，1]恒成立，求3a+b的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用分段函数，结合[-1，1]，分类讨论，即可求M（a）-m（a）；
（Ⅱ）问题转化为3-b≤f（x）≤3-b对x∈[-1，1]恒成立，分类讨论，即可求3a+b的取值范围．

解答 解：（Ⅰ）f（x）=x²+3|x-a|=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}-3x+3a，x＜a}\\{{x}^{2}+3x-3a，x≥a}\end{array}\right.$，
①当a≥1时，f（x）=x²-3x+3a在x∈[-1，1]单调递减，则M（a）=f（-1）=4+3a，
m（a）=f（1）=-2+3a，此时M（a）-m（a）=6；
②当a≤-1时，f（x）=x²+3x-3a在x∈[-1，1]单调递增，
则M（a）=f（1）=4-3a，m（a）=f（-1）=-2-3a，此时M（a）-m（a）=6；
③当-1＜a＜1时，f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}-3x+3a，-1≤x＜a}\\{{x}^{2}+3x-3a，a≤x≤1}\end{array}\right.$，
此时f（x）在x∈[-1，a]单调递减，在x∈[a，1]单调递增，
则m（a）=f（a）=a²，M（a）=max{f（-1），f（1）}=max{4+3a，4-3a}=4+|3a|，
此时M（a）-m（a）=4+|3a|-a²；
因此M（a）-m（a）=$\left\{\begin{array}{l}{6，a≤-1}\\{4+|3a|{-a}^{2}，-1＜a＜1}\\{6，a≥1}\end{array}\right.$，
（Ⅱ）原问题等价于-3-b≤f（x）≤3-b，由（Ⅰ）知
①当a≥1时，则$\left\{\begin{array}{l}{4+3a≤-b+3}\\{-2+3a≥-b-3}\end{array}\right.$，
即$\left\{\begin{array}{l}{3a+b≤-1}\\{3a+b≥-1}\end{array}\right.$，此时3a+b=-1；
②当a≤-1时，则$\left\{\begin{array}{l}{4-3a≤-b+3}\\{-2-3a≥-b-3}\end{array}\right.$，
即$\left\{\begin{array}{l}{b-3a≤-1}\\{b-3a≥-1}\end{array}\right.$，此时b-3a=-1，此时3a+b≤-7；
③当-1＜a＜1时，则m（a）=f（a）=a²，$\left\{\begin{array}{l}{4+|3a|≤-b+3}\\{{a}^{2}≥-b-3}\end{array}\right.$，即-a²-3≤b≤-|3a|-1，
此时-a²+3a-3≤3a+b≤3a-|3a|-1；
由-1＜a＜1得-a²+3a-3＞-7和3a-|3a|-1≤-1，此时-7＜3a+b≤-1，
因此3a+b≤-1．

点评 本题考查导数的综合运用，考查函数的最值，考查分类讨论、化归与转化的数学思想，难度大．