Question

12．已知极坐标的极点在平面直角坐标的原点O处，极轴与x轴的正半轴重合，且长度单位相同，若点P为曲线C：$\left\{\begin{array}{l}{x=\sqrt{3}cosθ}\\{y=sinθ}\end{array}\right.$（θ为参数）上的动点，直线l的极坐标方程为ρcos（θ+$\frac{π}{4}$）=$\frac{\sqrt{2}}{2}$m（m＞2）
（1）将曲线C的参数方程化为普通方程，直线l的极坐标方程化为直角坐标方程；
（2）若曲线C上有且只有一点P到直线l的距离为2，求实数m的值和点P的坐标．

Answer 1

分析 （1）曲线C：$\left\{\begin{array}{l}{x=\sqrt{3}cosθ}\\{y=sinθ}\end{array}\right.$（θ为参数），利用平方关系可得普通方程．直线l的极坐标方程为ρcos（θ+$\frac{π}{4}$）=$\frac{\sqrt{2}}{2}$m（m＞2），展开可得：$\frac{\sqrt{2}}{2}$ρ（cosθ-sinθ）=$\frac{\sqrt{2}}{2}$m，利用互化公式可得直角坐标方程．
（2）设与直线x-y-m=0平行且与椭圆相切的直线方程为x-y+t=0．把y=x+t代入椭圆方程可得：4x²+6tx+3t²-3=0，利用△=0，解得：t=±2．对t分类讨论，利用点到直线的距离公式即可得出m．

解答 解：（1）曲线C：$\left\{\begin{array}{l}{x=\sqrt{3}cosθ}\\{y=sinθ}\end{array}\right.$（θ为参数），利用平方关系可得普通方程：$\frac{{x}^{2}}{3}$+y²=1．
直线l的极坐标方程为ρcos（θ+$\frac{π}{4}$）=$\frac{\sqrt{2}}{2}$m（m＞2），展开可得：$\frac{\sqrt{2}}{2}$ρ（cosθ-sinθ）=$\frac{\sqrt{2}}{2}$m，化为直角坐标方程：x-y-m=0．
（2）设与直线x-y-m=0平行且与椭圆相切的直线方程为x-y+t=0．
把y=x+t代入椭圆方程可得：4x²+6tx+3t²-3=0，
令△=36t²-48（t²-1）=0，解得：t=±2．
当t=2时，方程为（2x+3）²=0，解得x=-$\frac{3}{2}$，代入椭圆方程可得：$\frac{3}{4}+{y}^{2}$=1，取y=$\frac{1}{2}$，可得切点P$（-\frac{3}{2}，\frac{1}{2}）$，则$\frac{|-\frac{3}{2}-\frac{1}{2}-m|}{\sqrt{2}}$=2，解得m=-2±2$\sqrt{2}$．经过验证都满足条件．
当t=-2时，方程为（2x-3）²=0，解得x=$\frac{3}{2}$，代入椭圆方程可得：$\frac{3}{4}+{y}^{2}$=1，取y=-$\frac{1}{2}$，可得切点P$（\frac{3}{2}，-\frac{1}{2}）$，则$\frac{|\frac{3}{2}+\frac{1}{2}-m|}{\sqrt{2}}$=2，解得m=2±2$\sqrt{2}$．经过验证都满足条件．
综上可得：取点P$（-\frac{3}{2}，\frac{1}{2}）$，m=-2±2$\sqrt{2}$．
取点P$（\frac{3}{2}，-\frac{1}{2}）$，m=2±2$\sqrt{2}$．

点评 本题考查了参数方程化为普通方程、直线与椭圆相切转化为一元二次方程的实数根与判别式的关系、点到直线的距离公式，考查了分类讨论方法、推理能力与计算能力，属于中档题．