Question

5．2015年7月9日21时15分，台风“莲花”在我国广东省陆丰市甲东镇沿海登陆，造成165.17万人紧急转移安置，5.6万人紧急转移安置，288间房屋倒塌，46.5千公顷农田受灾，直接经济损失12.99亿元，距离路率市222千米的梅州也受到了台风的影响，适逢暑假，小明调查了梅州某小区的50户居民由于台风造成的经济损失，将收集的数据分成（0，2000]，（2000，4000]，（4000，6000]，（6000，8000]，（8000，10000]五组，并作出如图频率直方图：
（1）试根据频率分布直方图估计小区平均每户居民的平均损失（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；
（2）小明向班级同学发出倡议，为该小区居民捐款，现从损失超过4000元的居民中随机抽出2户进行捐款救援，设抽出损失超过8000元的居民为ξ户，求ξ的分布列和数学期望；
（3）台风后区委会号召小区居民为台风重灾区捐款，小明调查的50户居民捐款情况图，根据图表格中所给数据，分别求b，c，a+b，c+d，a+c，b+d，a+b+c+d的值，并说明是否有95%以上的把握认为捐款数额多于或少于500元和自身经济损失是否到4000元有关？

	经济损失不超过4000元	经济损失超过4000元	合计
捐款超过500元	a=30	b
捐款不超过500元	c	d=6
合计

P（K2≥k）	0.15	0.10	0.05	0.025	0.010	0.005	0.001
k	2.072	2.706	3.841	5.024	6.635	7.879	10.828

附：临界值表参考公式：K²=$\frac{n（ad-bc）^{2}}{（a+b）（c+d）（a+c）（b+d）}$，n=a+b+c+d．

Answer 1

分析 （1）根据频率分布直方图，即可估计小区平均每户居民的平均损失；
（2）由频率分布直方图，得损失超过4000元的居民有15户，ξ的可能取值为0，1，2，分别求出相应的概率，由此能求出ξ的分布列和Eξ；
（3）求出K²，与临界值比较，即可得出结论．

解答 解：（1）记每户居民的平均损失为$\overline{x}$元，则：$\overline{x}$=（1000×0.00015+3000×0.0002+5000×0.00009+7000×0.00003+9000×0.00003）×2000=3360；
（2）由频率分布直方图可得，损失超过4000元的居民共有：（0.00009+0.00003+0.00003）×2000×50=15户，
损失超过8000元的居民共有：0.00003×2000×50=3户，
∴ξ的可能取值为0，1，2，
P（ξ=0）=$\frac{{C}_{12}^{2}}{{C}_{15}^{2}}$=$\frac{22}{35}$，
P（ξ=1）=$\frac{{{C}_{3}^{1}C}_{12}^{1}}{{C}_{15}^{2}}$=$\frac{12}{35}$，
P（ξ=2）=$\frac{{C}_{3}^{2}}{{C}_{15}^{2}}$=$\frac{1}{35}$，
∴ξ的分布列为：

ξ	0	1	2
P	$\frac{22}{35}$	$\frac{12}{35}$	$\frac{1}{35}$

Eξ=0×$\frac{22}{35}$+1×$\frac{12}{35}$+2×$\frac{1}{35}$=$\frac{2}{5}$；
（3）如表：

	经济损失不超过 4000元	经济损失超过 4000元	合计
捐款超过 500元	30	9	39
捐款不超 过500元	5	6	11
合计	35	15	50

K²=$\frac{50×（30×6-9×5）^{2}}{39×11×35×15}$≈4.046＞3.841，
∴有95%以上的把握认为捐款数额是否多于或少于500元和自身经济损失是否4000元有关．

点评 本题考查频率分布直方图，独立性检验知识，考查古典概型，考查学生分析解决问题的能力，知识综合性强，属中档题．